反三角函数公式

#标题创作挑战#

高数不定积分部分的核心是积分公式,所以老黄最近一直在推导积分公式。在这个过程中,可以充分运用求不定积分的两种主要方法,即代换积分法和分部积分法。

反三角函数公式

前老黄用公式(4): ∫ x n * sinaxdx =-∑ (I = 0-> )n!/((n-i)!*a^(i+1) )x^(n-i)*cos(ax+iπ/2+C.

推导出公式(7):∫x(arccos ax)ndx = 1/(2a ^ 2)*∑(I = 0->;n)n!/((n-i)!∙2^(i+1))*(arccosax)^(n-i)cos(2 arccosax+Iπ/2)+c

以及公式(8):∫(x(arcsinax)ndx =-1/(2a ^ 2)∑(I = 0->;n)n!/((n-i)!∙2^(i+1))*(arcsinax)^(n-i)cos(2 arcsinax+Iπ/2)+c

老黄应该继续使用公式(3)如下:∫ x n * COSA XDX = ∑ (I = 0-> )n!/((n-i)!* a (i+1)) x (n-i) * sin (ax+i π/2)+c和公式(4)导出两个新的不定积分公式。

(9)∫x^2*(arccosax)^ndx=?(10)∫x^2*(arcsinax)^ndx=?

公式(4)仍然用于推导公式(9),过程如下:

求∫x ^ 2 *(arccos NX)adx,n ∈ n *,a ≠ 0。

解法:注意t=arccosax,那么x = 1/a * cost,dx =-1/a * sindt。

原积分=-1/(2a ^ 3)*∫t ^ n *(Sint)2 * cost dt =-1/(4a ^ 3)*∫t ^ n *(sin3t+Sint)dt[这是公式(4)的两个例子之和]

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙t^(n-i))/(n-i)!*(1/3^(i+1)*cos(3t+iπ/2)+cos(t+iπ/2))+c.

公式(10)由公式(3)导出,过程如下:

求∫x ^ 2 *(arcsinax)ndx,n ∈ n *,a ≠ 0。

解法:注t=arcsinax,则x=1/a*sint,dx=1/a*costdt。

原积分= 1/(2a 3)∫TN *(Sint)2 * cost dt = 1/(4a 3)*∫TN(cost-cos3t)dt【这是公式(3)两个例子的区别】

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙t^(n-i))/(n-i)!*(sin(t+iπ/2)-1/3^(i+1)*sin(3t+iπ/2))+c

=1/(4a^3)*∑(i=0->n)(n!∙(arcsinax)^(n-i))/(n-i)!*(sin(arcsinax+iπ/2)-1/3^(i+1)*sin(3arcsinax+iπ/2))+c.

你可以比较一下这两个公式,它们有很多共同点。

让我们看两个例子:

例1:Find∫x ^ 2 *(arc cosx)2dx。

解:a=1,n=2,

原始积分= 1/4 *∑(I = 0->;2)(2!*(arccosx)^(2-i))/(2-i)!*(1/3^(i+1)*cos(3arccosx+iπ/2)+cos(arccosx+iπ/2))+c

=(x ^ 3 *(arc cosx)2)/3-(2 arc cosx √( 1-x ^ 2))/3+(2 arc cosx√((1-x ^ 2)3))/9-(2x ^ 3)/27-4x/9+。

例2:Find∫x ^ 2 *(arcsin 77 x)7dx。

解:a=7,n=77,

原始积分=

1/1372 *∑(I = 0-& gt;77)(77!∙(arcsin7x)^(77-i))/(77-i)!*(sin(arcsin 7 x+Iπ/2)-1/3(I+1)* sin(3 arcsin 7 x+Iπ/2))+c .[可以用这个结果回答]

最后做个练习,形式和例1很像,用的公式不一样:

练习:Find∫x ^ 2(Arcsinx)2dx。

你可以将这个结果与例1的结果进行比较,两者非常相似。

最近老黄推了很多公式。不知道大家会不会感到审美疲劳?老黄要考虑是否继续推x 3倍反三角函数的公式。因为老黄还梦想着得到x m乘以正弦或余弦的n次方的不定积分公式。虽然这很难。

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